Selasa, 01 November 2016

Pertidaksamaan | Materi Kuliah Kalkulus 

 

a > b ,kita baca : a lebih besar daripada b a ≥ b ,kita baca : a lebih besar atau sama dengan b
a < b ,kita baca : a lebih kecil daripada b
a ≤ b ,kita baca : a kurang dari atau sama dengan b

Jika kita melukiskan letak titik-titik pada garis bilangan, maka :
1. Apabila a > b ,maka a di letakkan di sebelah kanan b


 
 2. Apabila a < b ,maka a di letakkan di sebelah kiri b
●  SIFAT PERTIDAKSAMAAN
1. Ruas-ruas pertidaksamaan boleh dipindahkan ke ruas yang lain :



2. Ruas-ruas pertidaksamaan boleh di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama :


3. Ruas-ruas pertidaksamaan boleh dikalikan atau di bagi dengan bilangan yang psitif yang sama :




4. Ruas-ruas suatu pertidaksamaan jika di kalikan atau di bagi dengan bilangan negatif yang sama, tanda pertidaksamaan harus di balik :





●  PERTIDAKSAMAAN LINEAR



●  PERTIDAKSAMAAN PANGKAT TINGGI
Langkah-langah menyelesaikan pertidaksaman pangkat tinggi :
1) Salah satu ruas di nolkan,kemudian samakan penyebut dan atau di faktorkan
2) Tentukan harga nol ( harga x ) pertidaksamaan tersebut
3) Harga-harga nol di letakkan pada garis bilangan
4) Tentukan daerah yang memenuhi
Cth :
●  PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL


Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan irrasional

●  PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK

1. Pengertian Harga Mutlak


2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan harga mutlak


 
  1. Pertidaksamaan Linear
Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :
  1. Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.Contoh :  2 x + 3 < 5
  2. Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai pengubah.Contoh :  x + 5 < 2x + 10
  3. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.Contoh  x + 8 < x + 4
Contoh 1 :
Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !
Jawab :
2 x + 4 > x + 3
2 xx > 3 – 4
x > – 4
Contoh 2 :
Selesaikanlah  3 x + 5 < 5 x + 7 !
Jawab :
3 x + 5 < 5 x + 7
3 x – 5 x < 7 – 5
- 2 x < 2
x > –1   (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,
tanda pertidaksamaan berubah)
Latihan 8
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
  1. 4 x > 12                                                                                   6.   2 x + 1 £ 5 x – 4
  2. – 2 x < 7                                                                                  7.   – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
  3. 4 + 3 x ³ – 8                                                                            8.
  4. 9 – 3 x £ 6                                                                               9.
  5. 2 x + 3 £ x + 4                                                                        10.
Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !
  1. p xp < 0                                                                               13.  p x + q x < p + q
  2. a x £ a3 14.  a x + 1 > x + a
Tentukan nilai x yang memenuhi:
  1. 16
  2. Pertidaksamaan Kuadrat
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :
  1. Jadikan ruas kanan nol.
  2. Uraikan ruas kiri atas faktor linear
  3. Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
  4. Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
  5. Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
  6. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 2x – 8 ³ 0 !
Jawab :
x2 – 2 x – 8 ³ 0
(x – 4 ) (x + 2) ³ 0
Garis bilangan :
+ + + + + |  – - – - – -  | + + + +
–2                 4
Nilai x yang memenuhi :
x £ –2   atau   x ³ 4
Contoh 2 :
Selesaikan   3 x2 + 2 x < 3 – 6 x !
Jawab :
3 x2 + 2 x < 3 – 6 x
3 x2 + 2 x + 6 x – 3 < 0
3 x2 + 8 x – 3 < 0
(3 x – 1) (x + 3) < 0
Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0           dan         x + 3 = 0
3x = 1                                   x = –3
x =
Garis bilangan
+ + + +  | – - – - – - – - – | + + + + +
o                             o
–3
Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah  –3 < x <
Latihan 9
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
  1. x2 + x – 2 < 0                                                                          6.   15 – 7 x £ 2 x2
  2. x2 – 16 < 0                                                                              7.   4 x2 – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x2
  3. 9 – x2 > 0                                                                                 8.   5 x2 + 15 x £ 2 (x + 3)
  4. x2x < 3 x 9.   3 – 2 x £ 9 x – 6 x2
  5. 2 xx2 ³ 0                                                                              10.  2 x2 – 3 x – 5 ³ 0
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat
Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
  1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
  2. tanda-tanda fungsi kuadrat
  3. garis dan parabola
  1. a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.
Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat
a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x1 dan x2 .
a x2 + bx + c = 0
a ¹ 0
D < 0                         D = b2 – 4 a c D = 0
Akar imajiner                                                                                                                                   Akar kembar
(x1 = x2)



x1 = 0 , x2 ¹ 0            x1 = – x2 x1 =              x1 = + , x2 = +             x1 = , x2 = x1 = , x2 = +
c = 0                         berlawanan        kebalikan         a, c tanda sama             a,b,c tanda                 a,  c tanda
b = 0               a = c b berbeda                            sama                          berbeda
Contoh 1 :
Tentukan nilai p agar x22 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :
  1. akar kembar
  2. kedua akar tandanya berlawanan
Jawab :
  1. x22 p x + 2p + 15 = 0                                              b.  Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x1 . x2 < 0
a = 1 ,  b = –2p dan  c = 2p + 15                            b2 – 4 a c > 0                                 x1 . x2 < 0
Agar kedua akar kembar, maka D = 0                        (–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) > 0                         < 0
b2 – 4 a c = 0                                      4 p2 – 8 p – 60 > 0                             2 p + 15 < 0
(2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0                                  p2 – 2 p – 15 > 0                                       2 p < –15
4 p2 – 8 p – 50 = 0                                  (p – 5) (p + 3) > 0                                   p < –7
p2 – 2 p – 15 = 0                                 + + + +    – - – - – - – - -  + + + + +
(p – 5) (p + 3) = 0                                 o                      o
p = 5  atau p = 3                               –3                   5
Jadi nilai p adalah 5 dan 3                                                      p < –3  atau p > 5
Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :











o                             o
–3                           5
o
–7
Jadi : p < –7
Latihan 10
  1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
    1. x2 + 2 p x + 4 = 0
    2. x2 + px + p + 3 = 0
  1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
    1. x2 + p x + p = 0
    2. x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
    3. p x2 + 3 x + p = 0
  1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !
  1. Persamaan x2 + (2 m – 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0  mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !
  1. Tentukan nilai m agar x2 + 2 m xm2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
    1. dua akar berlawanan
    2. dua akar berlawanan tanda
    3. dua akar positif
  1. b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .
  1. Berdasarkan tanda a
a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).
  1. Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:






Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.
Untuk a > 0:
1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) < 0  untuk  x1< x < x2
2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (xx1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.
Untuk  a < 0:
1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) > 0  untuk  x1< x < x2
2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (xx1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 4 xm + 2  definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 xm + 2
Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)2 – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0  «  4 m + 8 < 0
m < –2
Jadi, agar f(x) = x2 – 4 xm + 2 definit positif, maka m < –2
Contoh 2:
Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi  – 2 < x < 2  dan grafiknya melalui titik (3, 10) !
Jawab:
Fungsi kuadrat y = f(x)
y < 0  untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.
y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti
10 = a(3 + 2) (3 – 2)
= 5a
a = 2
Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2)  atau y = 2x2 – 8.
Latihan 11
  1. Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!
  2. y = x2 – 7x + 10                                     b.   y = 6x2 – 5x – 6              c.   y = 2x2 + x – 6
  3. Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!
  4. y = x2x – 2                                         b.   y = –x2 + 2x + 8              c.    y = 2x2 – 9x – 5
  5. Tentukan batas-batas m supaya y = x2 +6x + m positif untuk setiap nilai m !
  6. Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !
  7. y = x2 – 2px + 3p + 4                            b.   y = (p + 2)x2 – (2p + 1)x + (p – 2)
  8. Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x2 + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !
  9. Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk  –2 < x < 4  dan mempunyai minimum –6 !
  10. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !
  11. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x2 + mx + 2m2 dan g(x) = x2 + 2mx + m2. Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !
  1. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola
Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:
v  garis memotong grafik
v  garis menyinggung grafik
v  garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.
Koordinat titik potong antara garis  y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
Garis lurus ®  y = mx + n …(1)
Parabola ®  y = ax2 + bx + c …(2)
Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh  ax2 + (bm)x + cn, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:
1)         D > 0  mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.
2)         D = 0  mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.
3)         D < 0  tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.
Contoh 1:
Tentukan koordinat titik potong garis  y = x + 5  dengan parabola  y = x2 – 3x.
Jawab:   y = x + 5  dan  y = x2 – 3x disamakan
x + 5 = x2 – 3 x Untuk  x = 5  maka   y = 5 + 5 = 10
x2 – 4 x – 5 = 0                                                      Untuk  x = –1  maka  y = –1 + 5 = 4
(x – 5) (x + 1) = 0
x = 5  dan  x = –1
Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1  dan  parabola y = x2 – 3x
adalah  (5, 10) dan (–1, 4).
Contoh 2:
Tentukan nilai m, supaya garis  y = x + m menyinggung parabola y = x2 – 2 .
Jawab:   y = x + m dan  y = x2 – 2   disamakan
x + m = x2 – 2
x2 – 2x – 2m – 2 = 0
Syarat supaya bersinggungan: D = 0.
D = (-2)2 – 4 . 1 (2m – 2) = 0
4 + 8m + 4 = 0
8m = –8
m = –1
Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.
Latihan 12
  1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
    1. y = x + 1  dan  y = x2x – 2
    2. y = 3x – 8  dan  y = x2 – 3x
    3. y = –2x + 9  dan  y = 2x2 – 4x + 7
  2. Tentukan nilai m supaya garis  y = mx + 1 menyinggung parabola  !
  3. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x2 !
  4. Ditentukan parabola  dan garis  y = x – 2 :
    1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
    2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
  5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis  y = x !
  6. Tentukan m supaya garis  y = mx +2 menyinggung parabola y = mx2 + x + 4 !
    1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x2 + 2 yang sejajar dengan garis  x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
    2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x2 – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
    3. Fungsi kuadrat y = x2 + (m + 2) x + 2 m – 4  grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
    4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x2 +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !
  1. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :
  1. Jadikan ruas kanan nol.
  2. Faktorkan ruas kiri
  3. Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
  4. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
  5. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)
Contoh 1 :
Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0 !
Jawab :          (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0
+ + + + + |  – - – - – - -  | – - – - -  | + + + + +
–2                   1              3
Jadi nilai x yang memenuhi adalah:  x < – 2     atau  x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan :  (2 – x)5 (x + 3) (x2 + x + 1) > 0 !
Jawab :          x2 + x + 1  adalah definit positif
Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :
(2 – x)5 (x + 3) > 0
- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -
–3                 2
Nilai x yang memenuhi adalah :  –3 < x < 2
Latihan 13
Tentukan nilai x yang memenuhi :
  1. (x2 – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0                                               6.   (-2 + 3 x – 4 x2) (x + 4) (x – 3) < 0
  2. (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0                                              7.   (x + 10)5 (x – 7)2 (x + 5)2 £ 0
  3. (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0                                                          8.   x4 – 13 x2 + 36 ³ 0
  4. (x – 5) (x +1)2 (x + 3 > 0                                                           9.   x (x2x – 2) (15 – 2xx2) > 0
  5. (2 – x)2 (x + 3)5 (x – 1) < 0                                                       10. (x2 – 2 x – 3) (x2 + 4 x + 3) £ 0
  1. Pertidaksamaan Pecahan
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :
  1. Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
  2. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
  3. Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan
berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula
Contoh 1 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + + +   – - – - – - – - – -  + + + +
o                     o
–2                  3
Nilai x yang memenuhi : x < –2   atau   x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + + + +    – - – - – - – -    + + + +
o
–3                  1
Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1   (ingat penyebut tidak boleh nol)
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi: !
Jawab :              Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan
x2 + 2x – 8 ³ 0
(x + 4) (x – 2) ³ 0                                                    + + + +   |  – - – - – - – - |  + + + +
–4                  2                                Nilai x yang memenuhi adalah :   x £ –4   atau   x ³ 2
Latihan 14
Tentukan nilai x yang memenuhi :
  1. 6.
  2. 7.
  3. 8.
  4. 9.
  5. 10.
  1. Pertidaksamaan Irasional
Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :
  1. Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
  2. Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan
Contoh 1:
Selesaikan  !
Jawab :                                                            Syarat :
kuadratkan                           2 x – 1 ³ 0
2 x – 1 < 9                                                          2 x ³ 1
2 x < 10                                                                  x ³    . . . . . (2)
x < 5  . . . . . .(1)
o
5                                              Jadi :  £ x < 5
Contoh 2 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat I                                 Syarat II
kuadratkan                   2 x – 10 > 0                           2 – x ³ 0
2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10                                2 ³ x
2 x + x > 2 + 10                                                              x > 5                                   x £ 2
3 x > 12
x > 4                                                            2                             4              5
Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi : !
Jawab :
Syarat I                 Syarat II
kuadratkan                    x + 3 > 0                 12 – 2x ³ 0
x + 3 > 12 – 2 x x > –3                        12 ³ 2x
x + 2 x > 12 – 3                                                                                                x £ 6
3 x > 9
x > 3                                                              –3                           3              6
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas :  3 < x £ 6.
Contoh 4 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat :
kuadratkan                      x2 + 2 x ³ 0
x2 + 2 x < x2 + 6 x + 9                                                         x (x + 2) ³ 0
2 x – 6 x < 9                                                                          + +  | – - – - – - -| + + +
–4 x < 9                                                                               –2                     0
x >–2                                                                 x £ –2   atau   x ³ 0  …2)
o
–2       –2                           0
Hasil penyelesaian :   –2 < x £ –2   atau  x ³ 0
Latihan 15
Tentukan nilai x yang memenuhi :
  1. < 3                                                                            6.
  2. < 4                                                                            7.    < x – 2
  3. < 5                                                                           8.    < 15 – x
  4. 9.
  5. 10.
  1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :
| a | =
Contoh 1 :
| 70 | = 70                              | – 70 | = – (– 70) = 70                         | 0 | = 0
Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan
Contoh 2 :
Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !
Jawab :  | x | £ a
kuadratkan
x2 £ a2
x2a2 £ 0
(xa) (x + a) £0                   + + + +   – - – - – - – –  + + + +
a                                a
Jadi ;      – a £  x £ + a
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !
Jawab :  | x | ³ a
kuadratkan
x2 ³ a2
x2a2 ³ 0
(xa) (x + a) > 0
(xa) (x + a) ³ 0                  + + + +   – - – - – - – –  + + + +
a                               a
Jadi         x £ – a atau x ³ a
Contoh 4 :
Selesaikan | x – 4 | < 3
Jawab ;
Cara I                                                                                    Cara II
| x – 4 | < 3                                                                             Dari jawaban contoh 1, diperoleh:
kuadratkan                                                                                | x – 4 | < 3
(x – 4)2 < 9                                                                             –3 < x – 4 < 3
x2 – 8 x + 16 < 9                                                                   Jadi 1 <  x < 7
x2 – 8 x + 7 < 0
(x – 1) (x – 7) < 0
+ + + + o  – - – - – - o + + + + +
1                    7
Jadi              1 < x < 7
Contoh 5 :
Selesaikan : | x + 2 | > 5 !
Jawab :
Cara I                                                                                    Cara II
| x + 2 | > 5                                                                             Dari jawaban contoh 2, diperoleh
kuadratkan                                                                             | x + 2 | > 5
(x + 2)2 > 25                                                                          x + 2 < – 5    atau x + 2 > 5
x2 + 4 x + 4 > 25                                                                   x < –7   atau   x > 3
x2 + 4 x – 21 > 0
(x + 7) (x – 3) > 0
+ + + + o - – - – - – o + + + + +
-7                  3
Jadi  x < -7              atau       x > 3
Latihan 16
Selesaikan pertidaksamaan berikut :
  1. | x | £ 4                                                                                     6.   | x2 – 5 | £ 4
  2. | x + 1 | > 2                                                                              7.   | x2x – 1 | £ 1
  3. | x2 – 2 | > 1                                                                             8.   | 2 x2 – 8 x – 1 | ³ 9
  4. | x2 – 4 x | > 0                                                                          9.    £ 1
  5. | x2 – 1 | < 7                                                                             10.  ³ 2

0 komentar:

Posting Komentar